Кто здоровается первым мужчина или женщина?

Короткий ответ: по уму — тот, кто зашёл или подошёл, вне зависимости от пола. Всё остальное — реликты из книжек про этикет девятнадцатого века. Раньше строго учили: мужчина первым кланяется даме. Сейчас в офисе, в лифте, в магазине никто не считает хромосомы перед тем как сказать «здрасьте». Смотрят на ситуацию. Пришёл в кабинет — здороваешься с теми, кто там сидит, будь ты хоть директор хоть стажёр. Обогнал знакомую на лестнице — кивнул, сказал привет, и не важно кто ты по полу. Есть исключения, чисто ритуальные: на светском приёме старой закалки, на официальном протоколе, где расписано кто кому кланяется первым — там ещё цепляются за старые нормы, но это уже не про обычную жизнь, а про декорации. Бабушки во дворе, кстати, до сих пор считают что мужчина обязан здороваться первым с женщиной, и спорить с ними бесполезно — это уже не этикет, это привычка поколения. По факту современные книги по деловому этикету вообще советуют забыть про пол и смотреть на статус: младший по должности приветствует старшего, вошедший — тех кто уже в помещении. Если сомневаешься — здоровайся первым сам, хуже точно не будет, а вот отмолчаться и прослыть букой — это реальный риск.

муж говорит что это я должна первая, а я считаю наоборот, живем уже 10 лет и не сошлись во мнении

Единого жёсткого правила для всех ситуаций нет, современный деловой этикет вообще ушёл от деления по полу и смотрит на статус и ситуацию. Вот как это обычно работает:

Если ситуация неформальная, спокойно можно ориентироваться на то, кто заметил другого раньше — жёстко следить за очерёдностью по полу сейчас мало кто требует, кроме совсем консервативных семей или мероприятий с протокольными нормами.

у нас на работе всегда женщина первая здоровается, странно как то